Рубрика: Геометрия

Доказать, если диагонали паралеллограмма взаимно перпендикулярны, то этот паралеллограмм — ромб

Доказать, если диагонали паралеллограмма взаимно перпендикулярны, то этот паралеллограмм — ромб

  • Теорема.

    (1-й признак ромба)

    Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

    Дано:

    ABCD параллелограмм,

    AC и BD диагонали,

    Доказать:

    ABCD ромб.

    Доказательство:

    1) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.

    AOB=COB=90 (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).

    AO=CO (так какдиагонали параллелограммав точке пересечения делятся пополам).

    BO общий катет.

    Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).

    2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

    AB=BC.

    3) CD=AB, AD=BC (какпротиволежащие стороны параллелограмма).

    4) Имеем: ABCD параллелограмм (по условию),

    AB=BC=AD=CD (по доказанному).

    Следовательно, ABCD- ромб (поопределению).

    Что и требовалось доказать.

Share

дано:авсд-параллелограмм вс=12 см Pcod = 24cm Раод=28 см найти Равсд

дано:авсд-параллелограмм вс=12 см Pcod = 24cm Раод=28 см найти Равсд

  • Если правильно понял, О- точка пересеч диагоналей. тогда

    Р(АОД)= АД+0,5АС+0,5ОД= 28

    т.к. АД=12

    0,5АС+0,5ОД=16

    Р(СОД)=СД+0,5АС+0,5ОД=24

    т.к.0,5АС+0,5ОД=16

    СД+ 16= 24

    СД=8,

    Значит

    Р(АБСД)=12*2+8*2=40см

Share

Докажите площадь параллелограмма

Докажите площадь параллелограмма

  • Теорема

    Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне S = a * h.

    Доказательство

    Пусть ABCD данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть A острый.
    Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.