Доказать, если диагонали паралеллограмма взаимно перпендикулярны, то этот паралеллограмм — ромб

Доказать, если диагонали паралеллограмма взаимно перпендикулярны, то этот паралеллограмм — ромб

  • Теорема.

    (1-й признак ромба)

    Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

    Дано:

    ABCD параллелограмм,

    AC и BD диагонали,

    Доказать:

    ABCD ромб.

    Доказательство:

    1) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.

    AOB=COB=90 (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).

    AO=CO (так какдиагонали параллелограммав точке пересечения делятся пополам).

    BO общий катет.

    Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).

    2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

    AB=BC.

    3) CD=AB, AD=BC (какпротиволежащие стороны параллелограмма).

    4) Имеем: ABCD параллелограмм (по условию),

    AB=BC=AD=CD (по доказанному).

    Следовательно, ABCD- ромб (поопределению).

    Что и требовалось доказать.

Share

About admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *